253 Absorbtion von α-, β-, γ-Strahlung

Needs["ErrorBarPlots`"]

1 Inbetriebnahme des Zählrohrs

{(Subscript[U, 0]),(Subscript[ΔU, 0])}=Quantity[{540,5},"Volts"]

(Subscript[R, 0])=Quantity[7,"Millimeters"]

2 Messung des Nullefekts

{(Subscript[n, 0]),(Subscript[Δn, 0])}=Quantity[{230,Sqrt[230]}/(5*60),"Becquerels"]//N

3 Absorbtion von β-Strahlung in Aluminium

Kennummer des Präperats: 253D

{(Subscript[d, pr,zr]),(Subscript[Δd, pr,zr])}=Quantity[{6,0.2},"Centimeters"]

(Subscript[Data, 3])={{Quantity[0,"Millimeters"],Quantity[1685/30,"Becquerels"]},
{Quantity[0.3,"Millimeters"],Quantity[1069/30,"Becquerels"]},
{Quantity[0.6,"Millimeters"],Quantity[724/30,"Becquerels"]},
{Quantity[0.9,"Millimeters"],Quantity[496/30,"Becquerels"]},
{Quantity[1.2,"Millimeters"],Quantity[322/30,"Becquerels"]},
{Quantity[1.5,"Millimeters"],Quantity[822/120,"Becquerels"]},
{Quantity[1.8,"Millimeters"],Quantity[548/120,"Becquerels"]},
{Quantity[2.1,"Millimeters"],Quantity[334/120,"Becquerels"]},
{Quantity[2.4,"Millimeters"],Quantity[196/120,"Becquerels"]},
{Quantity[2.7,"Millimeters"],Quantity[153/120,"Becquerels"]},
{Quantity[3.0,"Millimeters"],Quantity[135/120,"Becquerels"]},
{Quantity[3.3,"Millimeters"],Quantity[108/120,"Becquerels"]},
{Quantity[3.6,"Millimeters"],Quantity[115/120,"Becquerels"]},
{Quantity[4.6,"Millimeters"],Quantity[237/300,"Becquerels"]}}//N

(Subscript[CData, 3])=Table[{(Subscript[Data, 3])[[i,1]],{(Subscript[Data, 3])[[i,2]],Quantity[Sqrt[QuantityMagnitude[(Subscript[Data, 3])[[i,2]]]],"Becquerels"]}},{i,1,Length[(Subscript[Data, 3])]}]

Auswertung

(Subscript[xs, 1])=Transpose[(Subscript[CData, 3])][[1,All]]//QuantityMagnitude

(Subscript[ns, 1])=Transpose[(Subscript[CData, 3])][[2,All,1]]-(Subscript[n, 0])//QuantityMagnitude

(Subscript[cns, 1])=Transpose[(Subscript[CData, 3])][[2,All,1]]-Transpose[(Subscript[CData, 3])][[2,All,2]]-((Subscript[n, 0])-(Subscript[Δn, 0]))//QuantityMagnitude

(Subscript[xsns, 1])=Table[{(Subscript[xs, 1])[[i]],(Subscript[ns, 1])[[i]]},{i,1,Length[(Subscript[xs, 1])]}]

(Subscript[cxsns, 1])=Table[{(Subscript[xs, 1])[[i]],(Subscript[cns, 1])[[i]]},{i,1,Length[(Subscript[xs, 1])]}]

ffit=LinearModelFit[(Subscript[xsns, 1]),{1,x,x^2,x^3,x^4,x^5},x]

cffit=LinearModelFit[(Subscript[cxsns, 1]),{1,x,x^2,x^3,x^4,x^5},x]

Show[ListLogPlot[(Subscript[xsns, 1]),ImageSize->Full,PlotRange->Full,AxesLabel->{"Schichtdicke in mm","Zählrate in Bq"}],LogPlot[{ffit[x],cffit[x]},{x,-1,3}]]

Die hier angesetzten Fits sind Polynome in 5. Ordnung. Die Fehlerkurve wurde aus den entsprechenden statistischen Fehlern extrapoliert. Wir lesen ab:

{(Subscript[d, max]),(Subscript[Δd, max])}=Quantity[{2.88,0.6},"Millimeters"]

Daraus lässt sich jetzt die Flächendichte ermitteln. Wir müssen zusätzlich die Fensterdicke berügsichtigen, welche aus Edelstahl und Silber besteht.

(Subscript[(Overscript[R, β]), ES])=Quantity[0.130,(("Grams")/("Centimeters"^2))]

(Subscript[ρ, Al])=Quantity[2.7,(("Grams")/("Centimeters"^3))]

Es gilt nun:

{(Subscript[R, β]),(Subscript[ΔR, β])}=(Subscript[(Overscript[R, β]), ES])+{(Subscript[d, max]),(Subscript[Δd, max])}*(Subscript[ρ, Al])

(Subscript[R, β])±(Subscript[ΔR, β])

Mithilfe des Diagramms im Anhang der Praktikumsanleitung ergibt sich die Maximalenergie:

{(Subscript[T, max]),(Subscript[ΔT, max])}=Quantity[{2.00,0.25},"Megaelectronvolts"]

(Subscript[T, max])±(Subscript[ΔT, max])

Der zu erwartende Wert kann aus dem Anhang (Abbildung 6) abgelesen werden. 99.98% des Yttrium-Zirkonium-Zerfalls (der als einziger gemessen wird) produziert Elektronen mit einer Maximalenergie von 2.274 MeV.

(Subscript[T, maxtheo])=Quantity[2.274,"Megaelectronvolts"]

Dieser Wert liegt knapp außerhalb der 1-σ-Grenze, passt aber trotzdem in den Rahmen unserer Messgenauigkeit.

4 Absorbtion von γ-Strahlung in Blei

Wir messen erneut den Nullefekt, da die γ-Präperate relativ nah an den Zählrohen standen. Für die eigene Messung sollten zwecks des Vergleiches mit dem Nullefekt die γ-Strahler also nicht zu wesentlich zum Nullefekt beitragen.

{(Subscript[n, 0γ]),(Subscript[Δn, 0γ])}=Quantity[{95/300,Sqrt[95]/300},"Becquerels"]//N

{(Subscript[d, 2]),(Subscript[Δd, 2])}=Quantity[{15,0.2},"Centimeters"]

(Subscript[Data, 4])={{Quantity[0,"Centimeters"],Quantity[5183/60,"Becquerels"]},
{Quantity[0.5,"Centimeters"],Quantity[3488/60,"Becquerels"]},
{Quantity[1,"Centimeters"],Quantity[2692/60,"Becquerels"]},
{Quantity[1.5,"Centimeters"],Quantity[1947/60,"Becquerels"]},
{Quantity[2,"Centimeters"],Quantity[1482/60,"Becquerels"]},
{Quantity[2.5,"Centimeters"],Quantity[1076/60,"Becquerels"]},
{Quantity[3,"Centimeters"],Quantity[858/60,"Becquerels"]},
{Quantity[3.5,"Centimeters"],Quantity[663/60,"Becquerels"]},
{Quantity[4,"Centimeters"],Quantity[463/60,"Becquerels"]},
{Quantity[4.5,"Centimeters"],Quantity[396/60,"Becquerels"]},
{Quantity[5,"Centimeters"],Quantity[301/60,"Becquerels"]}}//N

(Subscript[CData, 4])=Table[{(Subscript[Data, 4])[[i,1]],{(Subscript[Data, 4])[[i,2]],Quantity[Sqrt[QuantityMagnitude[(Subscript[Data, 4])[[i,2]]]],"Becquerels"]}},{i,1,Length[(Subscript[Data, 4])]}]

Auswertung

(Subscript[xs, 2])=Transpose[(Subscript[Data, 4])][[1,All]]//QuantityMagnitude

(Subscript[ns, 2])=Transpose[(Subscript[Data, 4])][[2,All]]-(Subscript[n, 0γ])//QuantityMagnitude

(Subscript[cns, 2])=Transpose[(Subscript[CData, 4])][[2,All,1]]-Transpose[(Subscript[CData, 4])][[2,All,2]]-((Subscript[n, 0γ])-(Subscript[Δn, 0γ]))//QuantityMagnitude

(Subscript[xsns, 2])=Table[{(Subscript[xs, 2])[[i]],(Subscript[ns, 2])[[i]]},{i,1,Length[(Subscript[xs, 2])]}]

(Subscript[cxsns, 2])=Table[{(Subscript[xs, 2])[[i]],(Subscript[cns, 2])[[i]]},{i,1,Length[(Subscript[xs, 2])]}]

(Subscript[sfer, 2])=Transpose[(Subscript[CData, 4])][[2,All,1]]//QuantityMagnitude

sffit=NonlinearModelFit[(Subscript[xsns, 2]),a*Exp[-μ*x],{a,μ},x,Weights->1/(Subscript[sfer, 2])^2,VarianceEstimatorFunction->(1&)]

csffit=NonlinearModelFit[(Subscript[cxsns, 2]),a*Exp[-τ*x],{a,τ},x,Weights->1/(Subscript[sfer, 2])^2,VarianceEstimatorFunction->(1&)]

Show[ListLogPlot[(Subscript[xsns, 2]),ImageSize->Full,PlotRange->Full,AxesLabel->{"Schichtdicke in mm","Zählrate in Bq"}
],LogPlot[{sffit[x],csffit[x]},{x,-1,5}]]

Hier aufgetragen sind nun der gemessene Verlauf, der Fit (Exponential) und die entsprechende veranschaulichende Fehlerkurve. Damit lässt sich der Parameter μ für die Schwächung inklusive Fehler bestimmen. Der Fit wurde direkt in der Form des Lambert-Beer-Gesetzes gefordert. Deswegen können wir die Parameter direkt ablesen. Der Fehler auf μ wird aus der, entsprechend der Fehler, gewichteten Standartabweichung des Fits extrahiert.

sffit["ParameterTable"]

{μ,Δμ}=Quantity[sffit["ParameterTableEntries"][[2,1;;2]],"Centimeters"^(-1)]

μ±Δμ

Nun bestimmen wir mithilfe des weiteren Diagramms im Anhang die Energie der γ-Photonen abschätzen.

(Subscript[ρ, Pb])=Quantity[11.342,(("Grams")/("Centimeters"^3))]

{Μ,ΔΜ}=(({μ,Δμ})/(Subscript[ρ, Pb]))

{(Subscript[T, γ]),(Subscript[ΔT, γ])}=Quantity[{1.5,.3},"Megaelectronvolts"]

(Subscript[T, γ])±(Subscript[ΔT, γ])

Aus dem Skript lesen wir für die beiden Übergänge mit γ-Emission 1.173 MeV und 1.333 MeV. Beide liegen entweder knapp innerhalb des 1-σ-Bereichs oder leicht außerhalb. Die Messung war also erfolgreich, wenn auch nicht sehr präzise.

5 Messung der Aktivität

(Subscript[Data, 5])={{Quantity[{5.5,0.2},"Centimeters"],Quantity[{71274/60,Sqrt[71274]/60},"Becquerels"]},
{Quantity[{10,0.2},"Centimeters"],Quantity[{20626/60,Sqrt[20626]/60},"Becquerels"]},
{Quantity[{20,0.2},"Centimeters"],Quantity[{4868/60,Sqrt[4868]/60},"Becquerels"]}}//N

Auswertung

Wir berechnen nun aus diesen Werten jeweils die Aktivität. Die dazu verwendete Formel entnehmen wir dem Skriptum.

ϵ=4/100//N

A[n_,d_,r_]:=((4*n*d^2)/(ϵ*r^2))

ΔA[n_,d_,r_,Δn_,Δd_]=Sqrt[(((D[A[n,d,r],n]*Δn))^2)+(((D[A[n,d,r],d]*Δd))^2)]

R=Quantity[7,"Millimeters"]

{A1,ΔA1}={A[First[(Subscript[Data, 5])[[1,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[1,1]]],R],ΔA[First[(Subscript[Data, 5])[[1,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[1,1]]],R,Last[(Subscript[Data, 5])[[1,2]]],Last[(Subscript[Data, 5])[[1,1]]]]}

A1±ΔA1

{A2,ΔA2}={A[First[(Subscript[Data, 5])[[2,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[2,1]]],R],ΔA[First[(Subscript[Data, 5])[[2,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[2,1]]],R,Last[(Subscript[Data, 5])[[2,2]]],Last[(Subscript[Data, 5])[[2,1]]]]}

A2±ΔA2

{A3,ΔA3}={A[First[(Subscript[Data, 5])[[3,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[3,1]]],R],ΔA[First[(Subscript[Data, 5])[[3,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[3,1]]],R,Last[(Subscript[Data, 5])[[3,2]]],Last[(Subscript[Data, 5])[[3,1]]]]}

A3±ΔA3

Unser Präperat hat eine Halbwertszeit von (Subscript[T, 1/2])=5.27a und hatte 1. 1. 2013 eine Aktivität von 3.28 MBq. Das heißt, dass unsere gemessene Aktivität ungefär um den Faktor 2 zu groß ist.

Wir ermitteln nun den Korrekturfaktor, gemäß der Angaben im Skript, mit korrigiertem Raumwinkel. Die Korrektur wird den gemessenen Wert vermutlich nach oben hin korrigieren. Dies weicht noch mehr von dem tatsächlichen Wert ab.

l=Quantity[4,"Centimeters"]

Ak1[n_,d_,r_]:=((4*n*(d+l/2)^2)/(ϵ*r^2))

ΔAk1[n_,d_,r_,Δn_,Δd_]=Sqrt[(((D[Ak1[n,d,r],n]*Δn))^2)+(((D[Ak1[n,d,r],d]*Δd))^2)]

Die Korrektur wird für steigendes d immer weniger von der Korrektur betroffen sein, da l/2 gegen d klein wird. Wir rechnen konkret aus.

{A1k1,ΔA1k1}={Ak1[First[(Subscript[Data, 5])[[1,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[1,1]]],R],ΔAk1[First[(Subscript[Data, 5])[[1,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[1,1]]],R,Last[(Subscript[Data, 5])[[1,2]]],Last[(Subscript[Data, 5])[[1,1]]]]}

A1k1±ΔA1k1

{A2k1,ΔA2k1}={Ak1[First[(Subscript[Data, 5])[[2,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[2,1]]],R],ΔAk1[First[(Subscript[Data, 5])[[2,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[2,1]]],R,Last[(Subscript[Data, 5])[[2,2]]],Last[(Subscript[Data, 5])[[2,1]]]]}

A2k1±ΔA2k1

{A3k1,ΔA3k1}={Ak1[First[(Subscript[Data, 5])[[3,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[3,1]]],R],ΔAk1[First[(Subscript[Data, 5])[[3,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[3,1]]],R,Last[(Subscript[Data, 5])[[3,2]]],Last[(Subscript[Data, 5])[[3,1]]]]}

A3k1±ΔA3k1

Nun wird die zweite Korrektur durchgeführt. Wir übernejmen μ/(Subscript[ρ, Pb]) aus dem vorherigen Teil. Da unsere Messung bisher die abgeschirmte Aktivität zum Ergebnis hatte stellen wir die Gleichung (11) aus dem Skript um.

x=Quantity[1.4,"Millimeters"]

(Subscript[ρ, abs])=Quantity[7.9,"Grams"/"Centimeters"^3]

U={Μ,ΔΜ}=(({μ,Δμ})/(Subscript[ρ, Pb]))

Ak2[t_,s_,z_]:=((Ak1[t,s,z])/(Exp[-First[U]*(Subscript[ρ, abs])*x]))

ΔAk2[t_,s_,z_,Δt_,Δs_]=Sqrt[(((D[Ak2[t,s,z],t]*Δt))^2)+(((D[Ak2[t,s,z],s]*Δs))^2)]

{A1k2,ΔA1k2}={Ak2[First[(Subscript[Data, 5])[[1,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[1,1]]],R],ΔAk2[First[(Subscript[Data, 5])[[1,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[1,1]]],R,Last[(Subscript[Data, 5])[[1,2]]],Last[(Subscript[Data, 5])[[1,1]]]]}

A1k2±ΔA1k2

{A2k2,ΔA2k2}={Ak2[First[(Subscript[Data, 5])[[2,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[2,1]]],R],ΔAk2[First[(Subscript[Data, 5])[[2,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[2,1]]],R,Last[(Subscript[Data, 5])[[2,2]]],Last[(Subscript[Data, 5])[[2,1]]]]}

A2k2±ΔA2k2

{A3k2,ΔA3k2}={Ak2[First[(Subscript[Data, 5])[[3,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[3,1]]],R],ΔAk2[First[(Subscript[Data, 5])[[3,2]]],First[(Subscript[Data, 5])[[3,1]]],R,Last[(Subscript[Data, 5])[[3,2]]],Last[(Subscript[Data, 5])[[3,1]]]]}

A3k2±ΔA3k2

Die hier versammelten Werte sind nun mithilfe aller Korrekturfaktoren ausgerechnet und entsprechen in keinster Weise den Herstellerangaben. Mögliche Gründe dafür werden im Handschriftlichen diskutiert.

6 Absorbtionsmessung und Energiebestimmung von α-Strahlungs

(Subscript[p, 0])=Quantity[21,"Millibars"]

(Subscript[Data, 4])={{Quantity[{21,3},"Millibars"],Quantity[13209/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{269,3},"Millibars"],Quantity[12952/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{313,3},"Millibars"],Quantity[12863/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{410,3},"Millibars"],Quantity[7338/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{482,3},"Millibars"],Quantity[1250/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{500,3},"Millibars"],Quantity[721/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{546,3},"Millibars"],Quantity[290/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{612,3},"Millibars"],Quantity[276/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{725,3},"Millibars"],Quantity[266/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{810,3},"Millibars"],Quantity[244/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{888,3},"Millibars"],Quantity[253/60,"Becquerels"]},
{Quantity[{996,3},"Millibars"],Quantity[230/60,"Becquerels"]}}

Auswertung

(Subscript[CData, 4])=Table[{(Subscript[Data, 4])[[i,1]],{(Subscript[Data, 4])[[i,2]],Quantity[Sqrt[QuantityMagnitude[(Subscript[Data, 4])[[i,2]]]],"Becquerels"]}},{i,1,Length[(Subscript[Data, 4])]}]//N

(Subscript[ps, 4])=Transpose[(Subscript[CData, 4])][[1,All,1]]//QuantityMagnitude

(Subscript[Δps, 4])=Transpose[(Subscript[CData, 4])][[1,All,2]]//QuantityMagnitude

(Subscript[ns, 4])=Transpose[(Subscript[CData, 4])][[2,All,1]]-(Subscript[n, 0])//QuantityMagnitude

(Subscript[Δns, 4])=Transpose[(Subscript[CData, 4])][[2,All,2]]//QuantityMagnitude//N

(Subscript[sfer, 4])=Transpose[(Subscript[CData, 4])][[2,All,2]]//QuantityMagnitude//N

(Subscript[psns, 4])=Table[{(Subscript[ps, 4])[[i]],(Subscript[ns, 4])[[i]],(Subscript[Δns, 4])[[i]]},{i,1,Length[(Subscript[ps, 4])]}]//N

Show[ErrorListPlot[(Subscript[psns, 4]),ImageSize->Full],Plot[(First[(Subscript[ns, 4])]/2)+3.5,{x,0,1000}]]

Wir lesen auf der Hälfte ab (um die Hälfte genau abzuschätzen habe ich nochmals eine Nulleffektkorrektur durchgeführt indem der Gerade der zuletzt gemessene n-Wert (3.5 Bq) hinzugefügt wurde):

Pultimo={(Subscript[p, 1/2]),(Subscript[Δp, 1/2])}=Quantity[{425,10},"Millibars"]

Daraus wollen wir nun die Reichweite bestimmen. Gemäß Praktikumsanleitung setzt sich diese aus einem Hauptsummanten und 2 Korrekturen zusammen. In seiner Gesamtheit sieht die Formel dann folgendermaßen aus:

Sα[p_,pn_,sn_,ρgl_]:=(p/pn)*sn+((ρgl)/(Quantity[1.43,(("Milligrams")/("Centimeters"^2))]))*Quantity[1,"Centimeters"]+Quantity[0.68,"Centimeters"]

ΔSα[p_,pn_,sn_,ρgl_,Δp_,Δsn_]=Sqrt[(((D[Sα[p,pn,sn,ρgl],p]*Δp))^2)+(((D[Sα[p,pn,sn,ρgl],sn]*Δsn))^2)]

(Subscript[p, 0])=Quantity[1013,"Millibars"]

(Subscript[s, 0])=Quantity[{3.95,0.05},"Centimeters"]

ρgl=Quantity[2.25,"Milligrams"/"Centimeters"^2]

Sultimo=Sα[First[Pultimo],(Subscript[p, 0]),First[(Subscript[s, 0])],ρgl]

ΔSultimo=ΔSα[First[Pultimo],(Subscript[p, 0]),First[(Subscript[s, 0])],ρgl,Last[Pultimo],Last[(Subscript[s, 0])]]

Sultimo±ΔSultimo

Mithilfe des Diagramms kommen wir auf eine entsprechende Energie der Alphateilchen.

{(Subscript[T, α]),(Subscript[ΔT, α])}=Quantity[{5.5,0.1},"Megaelectronvolts"]

(Subscript[T, α])±(Subscript[ΔT, α])

Dieser Wert passt perfekt mit jenem zusammen, der im Praktikumsskript angegeben ist (5.48 MeV).