251 Statistik des radioaktiven Zerfalls

Needs["ErrorBarPlots`"]

Untersuchung des Plateau-Anstiegs

(Subscript[U, 0])=Quantity[700,"Volts"]

(Subscript[n, 1,700])=8869

(Subscript[n, 1,800])=9092

(Subscript[n, 3,700])=26601

(Subscript[n, 3,800])=27320

{(Subscript[δ, 1]),(Subscript[Δδ, 1])}={(Subscript[n, 1,800])-(Subscript[n, 1,700]),Sqrt[(Subscript[n, 1,800])+(Subscript[n, 1,700])]}//N

{(Subscript[δ, 3]),(Subscript[Δδ, 3])}={(Subscript[n, 3,800])-(Subscript[n, 3,700]),Sqrt[(Subscript[n, 3,800])+(Subscript[n, 3,700])]}//N

Prozentualer Anstieg:

(({(Subscript[δ, 1]),(Subscript[Δδ, 1])})/(Subscript[n, 1,700]))

(({(Subscript[δ, 3]),(Subscript[Δδ, 3])})/(Subscript[n, 3,700]))

Variation bei ca. 68% Vertrauen (1σ):

(((Subscript[δ, 1])+{-(Subscript[Δδ, 1]),+(Subscript[Δδ, 1])})/(Subscript[n, 1,700]))

(((Subscript[δ, 3])+{-(Subscript[Δδ, 3]),+(Subscript[Δδ, 3])})/(Subscript[n, 3,700]))

Variation bei ca. 95% Vertrauen (2σ):

(((Subscript[δ, 1])+{-2(Subscript[Δδ, 1]),+2(Subscript[Δδ, 1])})/(Subscript[n, 1,700]))

(((Subscript[δ, 3])+{-2(Subscript[Δδ, 3]),+2(Subscript[Δδ, 3])})/(Subscript[n, 3,700]))

Genauigkeit des prozentualen Anstiegs:

((Subscript[Δδ, 3])/(Subscript[n, 3,700]))

((Subscript[Δδ, 3])/(Subscript[n, 3,700]))*Sqrt[3*60]

Solve[((Subscript[Δδ, 3])/(Subscript[n, 3,700]))*Sqrt[3*60]/Sqrt[t]==1/300,t]

Auswertung der Daten mit hoher mittlerer Ereigniszahl

(Subscript[data, large])=Import["/Users/jannis/Dropbox/uniself/AP2/2.2/251 Statistik/JJ4.dat"]

(Subscript[n, large])=Total[(Subscript[data, large])[[All,2]]]

(Subscript[total, large])=Total[(Subscript[data, large])[[All,1]]*(Subscript[data, large])[[All,2]]]

(Subscript[mean, large])=N[(Subscript[total, large])/(Subscript[n, large])]

(Subscript[stdev, large])=N@Sqrt[Total[(((Subscript[data, large])[[All,1]])^2)*(((Subscript[data, large])[[All,2]])/(Subscript[n, large]))]-(((Total[(Subscript[data, large])[[All,1]]*(((Subscript[data, large])[[All,2]])/(Subscript[n, large]))]))^2)]

(Subscript[t, tor,large])=Quantity[0.5,"Seconds"]

(Subscript[ϵ, large])=0;

(Subscript[errors, large])=Map[If[#==0,(Subscript[ϵ, large]),#]&,Sqrt[(Subscript[data, large])[[All,2]]]]//N

(Subscript[plot, data,large])=ErrorListPlot[Transpose[{(Subscript[data, large]),ErrorBar /@ (Subscript[errors, large])}],PlotRange->{{40,110},{0,110}},AxesLabel->{"Zerfälle pro 500 ms","Anzahl Messungen"},PlotLabel->"Histogramm für 2012 Messungen bei (Subscript[t, tor]) = 0.5 s",ImageSize->Full];

Für den Fit wählen wir nur Werte ≥ 10.

(Subscript[d, large])=Select[(Subscript[data, large]),Last[#]≥10&];

(Subscript[δ, large])=Select[(Subscript[errors, large]),#≥(Sqrt[10])&];

(Subscript[f, gauss,large])=NonlinearModelFit[(Subscript[d, large]),((Subscript[n, large])/(Sqrt[2π (σ^2)]))Exp[-((((x-μ))^2)/(2(σ^2)))],{{σ,(Subscript[stdev, large])},{μ,(Subscript[mean, large])}},{x},
VarianceEstimatorFunction->1&;Weights->(1/((Subscript[δ, large])^2))]

(Subscript[f, gauss,large])["ParameterTable"]

Show[(Subscript[plot, data,large]),Plot[(Subscript[f, gauss,large])[x],{x,40,110}]]

(χ^2):

{(1/(Length[(Subscript[d, large])]-3)) ,1}Total[Table[(((((Subscript[d, large])[[i,2]]-(Subscript[f, gauss,large])[(Subscript[d, large])[[i,1]]]))^2)/(((Subscript[δ, large])[[i]])^2)),{i,1,Length[(Subscript[d, large])]}]]

1-CDF[ChiSquareDistribution[Length[(Subscript[d, large])]-3]][26.492538130484558`]

Poisson-Fit

(Subscript[f, poisson,large])=NonlinearModelFit[(Subscript[d, large]),(Subscript[n, large]) Exp[-μ] ((μ^x)/(Gamma[x+1])),{{μ,(Subscript[mean, large])}},{x},VarianceEstimatorFunction->1&;Weights->(1/((Subscript[δ, large])^2))]

(Subscript[f, poisson,large])["ParameterTable"]

σ = (Sqrt[μ]) ± ((Δμ)/(2(Sqrt[μ]))):

{Sqrt[(Subscript[f, poisson,large])["ParameterTableEntries"][[1,1]]],(((Subscript[f, poisson,large])["ParameterTableEntries"][[1,2]])/(2 Sqrt[(Subscript[f, poisson,large])["ParameterTableEntries"][[1,1]]]))}

Show[(Subscript[plot, data,large]),Plot[(Subscript[f, gauss,large])[x],{x,40,110}],Plot[(Subscript[f, poisson,large])[x],{x,40,110},PlotStyle->{Thick,Dotted,Red}]]

(χ^2):

{(1/(Length[(Subscript[d, large])]-2)) ,1}Total[Table[(((((Subscript[d, large])[[i,2]]-(Subscript[f, poisson,large])[(Subscript[d, large])[[i,1]]]))^2)/(((Subscript[δ, large])[[i]])^2)),{i,1,Length[(Subscript[d, large])]}]]

1-CDF[ChiSquareDistribution[Length[(Subscript[d, large])]-2]][52.52743606738058`]

Show[LogPlot[{(Subscript[f, gauss,large])[x],(Subscript[f, poisson,large])[x]},{x,40,110},PlotStyle->{Automatic,{Thick,Dotted,Red}},ImageSize->Full,PlotLabel->"Vergleich Gauß\[Hyphen]Fit und Poisson\[Hyphen]Fit",AxesLabel->{"Zerfälle pro 500 ms","Anzahl"},PlotRange->{{40,110},Automatic}](*,ListLogPlot[Map[(If[#[[2]]==0,{#[[1]],0.017},#]&),(Subscript[data, large])],Joined->True,InterpolationOrder->0]*)]

Auswertung der Daten mit kleiner mittlerer Ereigniszahl

(Subscript[data, small])=Import["/Users/jannis/Dropbox/uniself/AP2/2.2/251 Statistik/JJ5.dat"]

(Subscript[n, small])=Total[(Subscript[data, small])[[All,2]]]

(Subscript[total, small])=Total[(Subscript[data, small])[[All,1]]*(Subscript[data, small])[[All,2]]]

(Subscript[mean, small])=N[(Subscript[total, small])/(Subscript[n, small])]

(Subscript[stdev, small])=N@Sqrt[Total[(((Subscript[data, small])[[All,1]])^2)*(((Subscript[data, small])[[All,2]])/(Subscript[n, small]))]-(((Total[(Subscript[data, small])[[All,1]]*(((Subscript[data, small])[[All,2]])/(Subscript[n, small]))]))^2)]

(Subscript[t, tor,small])=Quantity[0.1,"Seconds"]

(Subscript[ϵ, small])=0;

(Subscript[errors, small])=Map[If[#==0,(Subscript[ϵ, small]),#]&,Sqrt[(Subscript[data, small])[[All,2]]]]//N

(Subscript[plot, data,small])=ErrorListPlot[Transpose[{(Subscript[data, small]),ErrorBar /@ (Subscript[errors, small])}],PlotRange->{{0,15.1},{0,1000}},AxesLabel->{"Zerfälle pro 100 ms","Anzahl Messungen"},PlotLabel->"Histogramm für 5003 Messungen bei (Subscript[t, tor]) = 0.1 s",ImageSize->Full];

Für den Fit wählen wir nur Werte ≥ 10.

(Subscript[d, small])=Select[(Subscript[data, small]),Last[#]≥10&];

(Subscript[δ, small])=Select[(Subscript[errors, small]),#≥(Sqrt[10])&];

(Subscript[f, gauss,small])=NonlinearModelFit[(Subscript[d, small]),((Subscript[n, small])/(Sqrt[2π (σ^2)]))Exp[-((((x-μ))^2)/(2(σ^2)))],{{σ,(Subscript[stdev, small])},{μ,(Subscript[mean, small])}},{x},
VarianceEstimatorFunction->1&;Weights->(1/((Subscript[δ, small])^2))]

(Subscript[f, gauss,small])["ParameterTable"]

Show[(Subscript[plot, data,small]),Plot[(Subscript[f, gauss,small])[x],{x,0,16}]]

(χ^2):

{(1/(Length[(Subscript[d, small])]-3)) ,1}Total[Table[(((((Subscript[d, small])[[i,2]]-(Subscript[f, gauss,small])[(Subscript[d, small])[[i,1]]]))^2)/(((Subscript[δ, small])[[i]])^2)),{i,1,Length[(Subscript[d, small])]}]]

1-CDF[ChiSquareDistribution[Length[(Subscript[d, small])]-3]][137.10215392867764`]

Poisson-Fit

(Subscript[f, poisson,small])=NonlinearModelFit[(Subscript[d, small]),(Subscript[n, small]) Exp[-μ] ((μ^x)/(Gamma[x+1])),{{μ,(Subscript[mean, small])}},{x},VarianceEstimatorFunction->1&;Weights->(1/((Subscript[δ, small])^2))]

(Subscript[f, poisson,small])["ParameterTable"]

σ = (Sqrt[μ]) ± ((Δμ)/(2(Sqrt[μ]))):

{Sqrt[(Subscript[f, poisson,small])["ParameterTableEntries"][[1,1]]],(((Subscript[f, poisson,small])["ParameterTableEntries"][[1,2]])/(2 Sqrt[(Subscript[f, poisson,small])["ParameterTableEntries"][[1,1]]]))}

Show[(Subscript[plot, data,small]),Plot[(Subscript[f, gauss,small])[x],{x,0,16}],Plot[(Subscript[f, poisson,small])[x],{x,0,16},PlotStyle->{Thick,Dotted,Red}]]

(χ^2):

{(1/(Length[(Subscript[d, small])]-2)) ,1}Total[Table[(((((Subscript[d, small])[[i,2]]-(Subscript[f, poisson,small])[(Subscript[d, small])[[i,1]]]))^2)/(((Subscript[δ, small])[[i]])^2)),{i,1,Length[(Subscript[d, small])]}]]

1-CDF[ChiSquareDistribution[Length[(Subscript[d, small])]-2]][14.004719612621194`]

Show[LogPlot[{(Subscript[f, gauss,small])[x],(Subscript[f, poisson,small])[x]},{x,0,16},PlotStyle->{Automatic,{Thick,Dotted,Red}},ImageSize->Full,PlotLabel->"Vergleich Gauß\[Hyphen]Fit und Poisson\[Hyphen]Fit",AxesLabel->{"Zerfälle pro 100 ms","Anzahl"},PlotRange->{{0,16},Full}](*,ListLogPlot[Map[(If[#[[2]]==0,{#[[1]],0.017},#]&),(Subscript[data, large])],Joined->True,InterpolationOrder->0]*)]