Zähigkeit von Flüssigkeiten

Needs["ErrorBarPlots`"]

Kugelfallviskosimeter

Radien der Kügelchen

diameters = {1.5,2,3,4,5,6,7.144,8,9}

{(Subscript[r, 1.5]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]),(Subscript[r, 5]),(Subscript[r, 6]),(Subscript[r, 7.144]),(Subscript[r, 8]),(Subscript[r, 9])}=.5 Quantity[diameters,"Millimeters"]

{(Subscript[Δr, 1.5]),(Subscript[Δr, 2]),(Subscript[Δr, 3]),(Subscript[Δr, 4]),(Subscript[Δr, 5]),(Subscript[Δr, 6]),(Subscript[Δr, 7.144]),(Subscript[Δr, 8]),(Subscript[Δr, 9])}=.01*.5 Quantity[diameters,"Millimeters"]

Dichten der Kügelchen:

(Subscript[ρ, 1.5])= (Subscript[ρ, 9])=Quantity[1.3625,(("Grams")/(("Centimeters")^3))]

(Subscript[ρ, 2])=(Subscript[ρ, 4])=(Subscript[ρ, 3])=(Subscript[ρ, 5])=(Subscript[ρ, 7.144])=(Subscript[ρ, 6])=Quantity[1.3775,(("Grams")/(("Centimeters")^3))]

(Subscript[ρ, 8])=Quantity[1.3575,(("Grams")/(("Centimeters")^3))]

(*Table[(Subscript[Δρ, i]),{i,diameters}]*){(Subscript[Δρ, 1.5`]),(Subscript[Δρ, 2]),(Subscript[Δρ, 3]),(Subscript[Δρ, 4]),(Subscript[Δρ, 5]),(Subscript[Δρ, 6]),(Subscript[Δρ, 7.144`]),(Subscript[Δρ, 8]),(Subscript[Δρ, 9])}=Table[Quantity[0.0025,(("Grams")/(("Centimeters")^3))],{i,diameters}]

1.5 mm Durchmesser

Hinweis: Der Fehler der Streckenmessung liegt bei ca. 1 mm und damit mit (1/200) vernachlässigbar klein gegen die anderen Fehler.

Strecke:

(Subscript[Δs, 1.5])=Quantity[200,"Millimeters"]

Zeitmessungen:

(Subscript[Δt, 1.5])=Quantity[{160.34,144.13,154.17,134.00,143.69},"Seconds"]

i=1.5;{(Subscript[v, i]),(Subscript[Δv, i])}=Map[#[((Subscript[Δs, i])/(Subscript[Δt, i]))]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

Temperatur zum Zeitpunkt der Messung:

(Subscript[T, 1.5])=Quantity[22.75,"Celsius"]

(Subscript[ΔT, 1.5])=Quantity[0.5,"Celsius"]

Daraus folgend: Dichte des Polyethylenglykols:

(Subscript[ρ, fl,1.5])=Quantity[1.1468,(("Grams")/(("Centimeters")^3))]

(Subscript[Δρ, fl,1.5])=Quantity[0.0005,(("Grams")/(("Centimeters")^3))]

2 mm Durchmesser

(Subscript[Δs, 2])=Quantity[200,"Millimeters"]

(Subscript[Δt, 2])= Quantity[{82.59,82.28,81.29,80.92,80.77},"Seconds"]

i=2;{(Subscript[v, i]),(Subscript[Δv, i])}=Map[#[((Subscript[Δs, i])/(Subscript[Δt, i]))]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

{(Subscript[T, 2]),(Subscript[ΔT, 2])}={(Subscript[T, 1.5]),(Subscript[ΔT, 1.5])}

{(Subscript[ρ, fl,2]),(Subscript[Δρ, fl,2])}={(Subscript[ρ, fl,1.5]),(Subscript[Δρ, fl,1.5])}

3 mm Durchmesser

(Subscript[Δs, 3])=Quantity[300,"Millimeters"]

(Subscript[Δt, 3])= Quantity[{62.67,64.03,63.53,64.48,60.87},"Seconds"]

i=3;{(Subscript[v, i]),(Subscript[Δv, i])}=Map[#[((Subscript[Δs, i])/(Subscript[Δt, i]))]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

{(Subscript[T, 3]),(Subscript[ΔT, 3])}={(Subscript[T, 1.5]),(Subscript[ΔT, 1.5])}

{(Subscript[ρ, fl,3]),(Subscript[Δρ, fl,3])}={(Subscript[ρ, fl,1.5]),(Subscript[Δρ, fl,1.5])}

4 mm Durchmesser

(Subscript[Δs, 4])= Quantity[200,"Millimeters"]

(Subscript[Δt, 4])= Quantity[{24.38,24.92,25.07,25.34,24.59},"Seconds"]

i=4;{(Subscript[v, i]),(Subscript[Δv, i])}=Map[#[((Subscript[Δs, i])/(Subscript[Δt, i]))]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

(Subscript[T, 4])=Quantity[23.25,"Celsius"]

(Subscript[ΔT, 4])=(Subscript[ΔT, 1.5])

(Subscript[ρ, fl,4])=Quantity[1.1463,(("Grams")/(("Centimeters")^3))]

(Subscript[Δρ, fl,4])=Quantity[0.0005,(("Grams")/(("Centimeters")^3))]

5 mm Durchmesser

(Subscript[Δs, 5])=Quantity[200,"Millimeters"]

(Subscript[Δt, 5])=Quantity[{16.31,15.98,16.50,16.29,16.13},"Seconds"]

i=5;{(Subscript[v, i]),(Subscript[Δv, i])}=Map[#[((Subscript[Δs, i])/(Subscript[Δt, i]))]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

{(Subscript[T, 5]),(Subscript[ΔT, 5])}={(Subscript[T, 4]),(Subscript[ΔT, 4])}

{(Subscript[ρ, fl,5]),(Subscript[Δρ, fl,5])}={(Subscript[ρ, fl,4]),(Subscript[Δρ, fl,4])}

6 mm Durchmesser

(Subscript[Δs, 6])=Quantity[200,"Millimeters"]

(Subscript[Δt, 6])=Quantity[{11.79,11.65,11.97,11.84,11.68},"Seconds"]

i=6;{(Subscript[v, i]),(Subscript[Δv, i])}=Map[#[((Subscript[Δs, i])/(Subscript[Δt, i]))]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

{(Subscript[T, 6]),(Subscript[ΔT, 6])}={(Subscript[T, 5]),(Subscript[ΔT, 5])}

{(Subscript[ρ, fl,6]),(Subscript[Δρ, fl,6])}={(Subscript[ρ, fl,4]),(Subscript[Δρ, fl,4])}

7.144 mm Durchmesser

(Subscript[Δs, 7.144])=Quantity[200,"Millimeters"]

(Subscript[Δt, 7.144])=Quantity[{8.75,8.73,8.90,8.76,8.88},"Seconds"]

i=7.144;{(Subscript[v, i]),(Subscript[Δv, i])}=Map[#[((Subscript[Δs, i])/(Subscript[Δt, i]))]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

(Subscript[T, 7.144])=Quantity[23.5,"Celsius"]

(Subscript[ΔT, 7.144])=(Subscript[ΔT, 1.5])

(Subscript[ρ, fl,7.144])=Quantity[1.1460,(("Grams")/(("Centimeters")^3))]

(Subscript[Δρ, fl,7.144])=Quantity[0.0005,(("Grams")/(("Centimeters")^3))]

8 mm Durchmesser

(Subscript[Δs, 8])=Quantity[200,"Millimeters"]

(Subscript[Δt, 8])=Quantity[{7.12,7.92,7.94,7.67,7.77},"Seconds"]

i=8;{(Subscript[v, i]),(Subscript[Δv, i])}=Map[#[((Subscript[Δs, i])/(Subscript[Δt, i]))]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

{(Subscript[T, 8]),(Subscript[ΔT, 8])}={(Subscript[T, 7.144]),(Subscript[ΔT, 7.144])}

{(Subscript[ρ, fl,8]),(Subscript[Δρ, fl,8])}={(Subscript[ρ, fl,7.144]),(Subscript[Δρ, fl,7.144])}

9 mm Durchmesser

(Subscript[Δs, 9])=Quantity[200,"Millimeters"]

(Subscript[Δt, 9])=Quantity[{6.21,6.13,6.32,6.19,6.43},"Seconds"]

i=9;{(Subscript[v, i]),(Subscript[Δv, i])}=Map[#[((Subscript[Δs, i])/(Subscript[Δt, i]))]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

{(Subscript[T, 9]),(Subscript[ΔT, 9])}={(Subscript[T, 8]),(Subscript[ΔT, 8])}

{(Subscript[ρ, fl,9]),(Subscript[Δρ, fl,9])}={(Subscript[ρ, fl,8]),(Subscript[Δρ, fl,8])}

Innendurchmesser des Fallrohres

(Subscript[r, innen])=.5Quantity[75,"Millimeters"]

Auswertung der Messungen

Nun wollen wir eine bestimmte Größe, wir nennen sie q=((⟨v⟩)/((Subscript[ρ, k])-(Subscript[ρ, f]))) (sie ergibt sich aus Formel (14) im Skript bzw. (4) in der schriftlichen Auswertung), gegen (r^2) betrachten. Dazu berechnen wir zunächst die Ladenburg’sche Korrektur für alle Radien:

(*Table[(Subscript[λ, i]),{i,diameters}]*){(Subscript[λ, 1.5`]),(Subscript[λ, 2]),(Subscript[λ, 3]),(Subscript[λ, 4]),(Subscript[λ, 5]),(Subscript[λ, 6]),(Subscript[λ, 7.144`]),(Subscript[λ, 8]),(Subscript[λ, 9])}=Table[1+2.1((Subscript[r, i])/(Subscript[r, innen])),{i,diameters}]

(*Table[(Subscript[Δλ, i]),{i,diameters}]*){(Subscript[Δλ, 1.5`]),(Subscript[Δλ, 2]),(Subscript[Δλ, 3]),(Subscript[Δλ, 4]),(Subscript[Δλ, 5]),(Subscript[Δλ, 6]),(Subscript[Δλ, 7.144`]),(Subscript[Δλ, 8]),(Subscript[Δλ, 9])}=Table[2.1((Subscript[Δr, i])/(Subscript[r, innen])),{i,diameters}]

Nun können wir die Größe mit und ohne diese Korrektur berechnen.

{(Subscript[q, without]),(Subscript[q, with])}=Transpose[Table[(((Subscript[v, i]){1,(Subscript[λ, i])})/(((Subscript[ρ, i])-(Subscript[ρ, fl,i])))),{i,diameters}]]//UnitConvert

(Subscript[Δq, without])=Table[
(Sqrt[(((((Subscript[Δv, i])/((Subscript[ρ, fl,i])-(Subscript[ρ, i])))))^2)+(((((Subscript[v, i])/((((Subscript[ρ, fl,i])-(Subscript[ρ, i])))^2))))^2)*(((Subscript[Δρ, fl,i])^2)+((Subscript[Δρ, i])^2))]),
{i,diameters}]//UnitConvert

(Subscript[Δq, with])=Table[
(Sqrt[((((((Subscript[Δv, i])(Subscript[λ, i]))/(((Subscript[ρ, fl,i])-(Subscript[ρ, i]))))))^2)+((((((Subscript[v, i])(Subscript[λ, i]))/((((Subscript[ρ, fl,i])-(Subscript[ρ, i])))^2))))^2)*(((Subscript[Δρ, fl,i])^2)+((Subscript[Δρ, i])^2))+(((((Subscript[v, i])/(((Subscript[ρ, fl,i])-(Subscript[ρ, i]))))(Subscript[Δλ, i])))^2)]),
{i,diameters}]//UnitConvert

rsq=Table[((Subscript[r, i])^2),{i,diameters}]//UnitConvert

{(Subscript[data, with]),(Subscript[data, without])}=Table[
Transpose[{Transpose[{rsq,(Subscript[q, what])}//QuantityMagnitude],ErrorBar/@QuantityMagnitude[(Subscript[Δq, what])]}],{what,{with,without}}];

Es ergibt sich die folgende Graphik:

fallplot=ErrorListPlot[{(Subscript[data, with]),(Subscript[data, without])},PlotLegends->{"Mit Korrektur","Ohne Korrektur"},
AxesLabel->{"(r^2) [(m^2)]","(v/((Subscript[ρ, k]) - (Subscript[ρ, f])))[\!\(\*FractionBox[SuperscriptBox[\(m\), \(4\)], \(kg\\ s\)]\)]"}]

Für den linearen Fit nutzen wir alle Datenpunkte bis auf die letzten zwei; wir fitten die Datenpunkte mit Korrektur. Wir gewichten die Meßpunkte mit den Inversen der Fehlerquadrate; auch gewichten wir die 0 mit einem willkürlichen hohen Wert, um eine Ursprungsgerade zu gewährleisten.

fit=LinearModelFit[Prepend[Transpose[{rsq,(Subscript[q, with])}//QuantityMagnitude],{0,0}][[;;-3]], x, x, Weights->Prepend[QuantityMagnitude[1/((Subscript[Δq, with])^2)][[;;-3]],(10^100)(*die 0 wird hoch gewichtet*)],VarianceEstimatorFunction->(1&)]

Show[fallplot,Plot[fit[x],{x,0,0.00002}],ImageSize->Full,PlotRange->All]

fit["ParameterTable"]//Chop

Es folgt für die Steigung:

{m,Δm}=Quantity[fit["ParameterTableEntries"][[2,1;;2]],((("Meters")^2)/("Kilograms"*"Seconds"))]

Diese Steigung entspricht nun (2/9)(g/η). Also können wir angeben:

{(Subscript[η, fall]),(Subscript[Δη, fall])}=(2/9)(g/m)*{1,((Δm)/m)}//UnitConvert[#,"Pascals"*"Seconds"]&

Also ist η mit Fehler:

NumberForm[(Subscript[η, fall]),3]±NumberForm[(Subscript[Δη, fall]),1]

Untersuchung der Reynoldszahl

Nun können wir für alle Radien den theoretischen Wert (Subscript[v, lam]) mit Fehler gemäß Gleichung (14) aus dem Praktikumsskript berechnen:

g=Quantity["StandardAccelerationOfGravity"];

Table[
(Subscript[v, lam,i])=(2/9)g((((Subscript[ρ, i])-(Subscript[ρ, fl,i])))/((Subscript[η, fall])(Subscript[λ, i])))((Subscript[r, i])^2),
{i,diameters}]//UnitConvert

Table[
(Subscript[Δv, lam,i])=(2/9)g√((((2((((Subscript[ρ, i])-(Subscript[ρ, fl,i])))/((Subscript[η, fall])(Subscript[λ, i])))(Subscript[r, i])(Subscript[Δr, i])))^2)+(((Subscript[Δρ, i])^2)+((Subscript[Δρ, fl,i])^2))((((1/((Subscript[η, fall])(Subscript[λ, i])))((Subscript[r, i])^2)))^2)+(((((((Subscript[ρ, i])-(Subscript[ρ, fl,i])))/(((Subscript[η, fall])^2)(Subscript[λ, i])))((Subscript[r, i])^2)(Subscript[Δη, fall])))^2)+(((((((Subscript[ρ, i])-(Subscript[ρ, fl,i])))/((Subscript[η, fall])((Subscript[λ, i])^2)))((Subscript[r, i])^2)(Subscript[Δλ, i])))^2)),
{i,diameters}]//UnitConvert

Die Reynoldszahlen ergeben sich mit Fehlern zu:

Table[
(Subscript[Reynolds, i])=((2(Subscript[ρ, fl,i])(Subscript[v, i])(Subscript[r, i]))/(Subscript[η, fall])),
{i,diameters}]

Table[(Subscript[ΔReynolds, i])=(Sqrt[(((((2(Subscript[Δρ, fl,i])(Subscript[v, i])(Subscript[r, i]))/(Subscript[η, fall]))))^2)+(((((2(Subscript[ρ, fl,i])(Subscript[Δv, i])(Subscript[r, i]))/(Subscript[η, fall]))))^2)+(((((2(Subscript[ρ, fl,i])(Subscript[v, i])(Subscript[Δr, i]))/(Subscript[η, fall]))))^2)+(((((2(Subscript[ρ, fl,i])(Subscript[v, i])(Subscript[r, i]))/((Subscript[η, fall])^2))(Subscript[Δη, fall])))^2)]),{i,diameters}]

Wir bilden einige Hilfstabellen für (v/(Subscript[v, lam])) sowie ln(Reynolds), jeweils mit Fehlern.

vovervlam = Table[((Subscript[v, i])/(Subscript[v, lam,i])),{i,diameters}]

Δvovervlam = Table[(Sqrt[(((((Subscript[Δv, i])/(Subscript[v, lam,i]))))^2)+(((((Subscript[v, i])/((Subscript[v, lam,i])^2))(Subscript[Δv, lam,i])))^2)]),{i,diameters}]

lnR=Table[Log[(Subscript[Reynolds, i])],{i,diameters}]

ΔlnR=Table[((Subscript[ΔReynolds, i])/(Subscript[Reynolds, i])),{i,diameters}]

Nun können wir (v/(Subscript[v, lam])) gegen ln(Reynolds) auftragen. Dabei lassen wir die ersten beiden Werte, wo v etwas größer als (Subscript[v, lam]) ist, weg, da sie die Erkennbarkeit des Knicks trüben. Dieser ist dann kurz vor der 0 wahrzunehmen, also können wir die kritische Reynoldszahl als »etwa 1« abschätzen (siehe unten).

ErrorListPlot[Transpose[{Transpose[{lnR,vovervlam}],Apply[ErrorBar,#]&/@Transpose[{ΔlnR,Δvovervlam}]}],PlotRange->{{-3,1},{.9,1.1}},AxesLabel->{"ln R","(v/(Subscript[v, lam]))"},Epilog->{Dashed, Gray,Line[{{-10,1},{10,1}}]},ImageSize->Full]

Genauer als

(Subscript[Reynolds, 7.144])±(Subscript[ΔReynolds, 7.144])//NumberForm[#,2]&

(in nicht-logarithmischer Skala) können wir die Position des Knicks wohl nicht bestimmen.

Kapillarviskosimeter

Länge des Kapillarrohrs:

{L,ΔL}=Quantity[{100,.5},"Millimeters"]

Radius des Kapillarrohrs:

{R,ΔR}=.5Quantity[{1.5,.01},"Millimeters"]

Temperatur:

{(Subscript[T, M]),(Subscript[ΔT, M])}=Quantity[{23.5,.5},"Celsius"]

Daraus folgt die Dichte der Flüssigkeit:

{(Subscript[ρ, fl,M]),(Subscript[Δρ, fl,M])}={(Subscript[ρ, fl,9]),(Subscript[Δρ, fl,9])}

Höhe der Flüssigkeitssäule zu Beginn der Messung:

{(Subscript[h, A]),(Subscript[Δh, A])}=Quantity[{547,1},"Millimeters"]

Höhe der Flüssigkeitssäule am Ende der Messung:

{(Subscript[h, E]),(Subscript[Δh, E])}=Quantity[{540,1},"Millimeters"]

Daraus folgt die mittlere Höhe:

{(OverBar[h]),(OverBar[Δh])}={(((Subscript[h, A])+(Subscript[h, E]))/2),(Sqrt[((Subscript[Δh, A])^2)+((Subscript[Δh, E])^2)])}//N

Nach Pascal ist die Druckdifferenz:

(Subscript[p, diff])=(Subscript[ρ, fl,M])*g*(OverBar[h])//UnitConvert[#,"Pascals"]&

(Subscript[Δp, diff])=(Sqrt[((((Subscript[Δρ, fl,M])*g*(OverBar[h])))^2)+((((Subscript[ρ, fl,M])*g*(OverBar[Δh])))^2)])//UnitConvert[#,"Pascals"]&

times={5,10,15,20,25}; Table[(Subscript[V, i])=Quantity[i,(("Centimeters")^3)],{i,times}]

Zeit, nach der 5 ml ausgeflossen sind:

{(Subscript[t, 5]),(Subscript[δt, 5])}= Quantity[{129.64,.01},"Seconds"]

Zeit, nach der 10 ml ausgeflossen sind:

{(Subscript[t, 10]),(Subscript[δt, 10])}=Quantity[{246.42,.01},"Seconds"]

Zeit, nach der 15 ml ausgeflossen sind:

{(Subscript[t, 15]),(Subscript[δt, 15])}=Quantity[{400.74,.01},"Seconds"]

Zeit, nach der 20 ml ausgeflossen sind:

{(Subscript[t, 20]),(Subscript[δt, 20])}=Quantity[{538.96,.01},"Seconds"]

Zeit, nach der 25 ml ausgeflossen sind:

{(Subscript[t, 25]),(Subscript[δt, 25])}=Quantity[{676.11,.01},"Seconds"]

Wir berechnen Mittelwert und Fehler des Volumenstroms:

{Vdot,ΔVdot}=Map[#[Table[((Subscript[V, i])/(Subscript[t, i])),{i,times}]]&,{Mean,StandardDeviation}]//UnitConvert

Nun können wir das Gesetz von Hagen-Poiseuille anwenden:

(Subscript[η, hp])=((π*(Subscript[p, diff])*(R^4))/(8*Vdot*L))//UnitConvert[#,"Seconds"*"Pascals"]&

(Subscript[Δη, hp])=(Sqrt[(((((π*(Subscript[Δp, diff])*(R^4))/(8*Vdot*L))))^2)+(((((π*(Subscript[p, diff])*4(R^3)ΔR)/(8*Vdot*L))))^2)+(((((π*(Subscript[p, diff])*(R^4))/(8*(Vdot^2)*L))ΔVdot))^2)+(((((π*(Subscript[p, diff])*(R^4))/(8*Vdot*(L^2)))ΔL))^2)])

Also ergibt sich für η:

NumberForm[(Subscript[η, hp]),2]±NumberForm[(Subscript[Δη, hp]),1]

Reynoldszahl

Hierfür müssen wir noch die über den Querschnitt gemittelte Geschwindigkeit errechnen:

(OverBar[v])=(1/R)(∫_0^R)((Subscript[p, diff])/(4(Subscript[η, hp])L))((R^2)-(r^2))\[DifferentialD]r//UnitConvert

Dann ergibt sich mit der charakteristischen Länge 2R

(Subscript[Reynolds, hp])=((2(Subscript[ρ, fl,M])(OverBar[v]) R)/(Subscript[η, hp]))

mit dem Fehler (wobei wir den Fehler auf (OverBar[v]) vernachlässigen):

(Subscript[ΔReynolds, hp])=(Sqrt[(((((2(Subscript[Δρ, fl,M])(OverBar[v]) R)/(Subscript[η, hp]))))^2)+(((((2(Subscript[ρ, fl,M])(OverBar[v]) ΔR)/(Subscript[η, hp]))))^2)+(((((2(Subscript[ρ, fl,M])(OverBar[v]) R)/((Subscript[η, hp])^2))(Subscript[Δη, hp])))^2)])

Wir stellen also fest, daß es sich unmöglich um eine turbulente Strömung gehandelt haben kann, wenn die kritische Reynoldszahl bei dieser Strömungsart erst bei ca. 2000 liegt.

Vergleich der gemessenen Viskositäten

Grid[{{Null,Text["Fallviskosimeter"],Text["Hagen-Poiseuille"]},{Text["η"],
((Subscript[η, fall])//NumberForm[#,3]&)±((Subscript[Δη, fall])//NumberForm[#,1]&),
((Subscript[η, hp])//NumberForm[#,2]&)±((Subscript[Δη, hp])//NumberForm[#,1]&)}},
Frame->All]