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\author{Iris Feldt}
\title[Temperaturkorrelation des CMB]{Untersuchung des Einflusses des schwachen Gravitationslinseneffekts auf die Temperaturkorrelation der kosmischen Hintergrundstrahlung}
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\date{26.09.2016} 
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\date{26.09.2016} 
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\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\begin{frame}{Einleitung}
\begin{itemize}
\item CMB enthält Informationen zum Alter, zur Ausdehnungsgeschwindigkeit und Zusammensetzung des Universums
\item durch schwachen Gravitationslinseneffekt nimmt Schärfe der Strukturen des CMBs um $\sim 3\%$ ab
\item für die Rekonstruktion des ursprünglichen CMB ist es wichtig, diesen Prozess zu verstehen 
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Theorie}
\subsection{Die kosmische Hintergrundstrahlung (CMB)}
\begin{frame}{Der CMB}
\begin{itemize}
\item die kosmische Hintergrundstrahlung (CMB) ist die älteste Strahlung, die man messen kann
\item ca. 300.000 Jahre nach dem Urknall entstanden
\item isotrope Schwarzkörperstrahlung mit $T=2{,}726~$Kelvin
\item Anisotropien der Größenordnung $10^{-5}~$Kelvin, durch Dichteschwankungen und Strömungsgeschwindigkeiten im frühen Universum 
\item Temperaturschwankungen bilden gaußsches Zufallsfeld
\end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Der schwache Gravitationslinseneffekt}
\begin{frame}{Der schwache Gravitationslinseneffekt}
\begin{itemize}
\item Photonen werden durch Gravitationspotentiale $\Psi$ abgelenkt\\
\item Ablenkungswinkel $\delta \alpha $ sind klein 
\item absoluter Ablenkungswinkel $\boldsymbol{\alpha}=\nabla \psi$, wird ermittelt durch Summation aller $\delta \alpha$ entlang der Sichtlinie des Beobachters 
\item Effekt ist klein $\Rightarrow$ gelinstes Temperaturfeld ist auch ein gaußsches Zufallsfeld
\item Zusammenhang zwischen ungelinster $T_u$ und gelinster $T_g$ Temperatur:
$T_g(\boldsymbol{\beta})=T_u(\boldsymbol{\beta + \alpha})$
\end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Bestimmung der Korrelationsfunktionen}
\begin{frame}{Bestimmung der Korrelationsfunktionen}
\begin{itemize}
\item Berechnungen beziehen sich auf räumlich flaches Universum

\item für das Leistungsspektrum der Temperatur $C_{\tau}$ gilt:
\begin{align*}
\langle \tau(\boldsymbol{l})\tau(\boldsymbol{l'})\rangle = C_{\tau}(l)\delta(\boldsymbol{l}-\boldsymbol{l'})
\end{align*}
\item bei gegebenem Leistungsspektrum $C_{\tau}(l)$ gilt für die Temperaturkorrelation $\xi$:
\begin{align*}
\xi(\theta) = \int \frac{ldl}{2\pi}C_{\tau}(l)J_{0}(l\theta)
\end{align*}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item mit $\xi_g(\theta) = \langle T_u(\boldsymbol{\beta} +\boldsymbol{\alpha})T_u(\boldsymbol{\beta'} +\boldsymbol{\alpha'})\rangle$ gilt:
\begin{align*}
\xi_g(\theta) = \int \frac{d^2\boldsymbol{l}}{(2\pi)^2} C_{\tau_u}(l)e^{-\frac{1}{2}\langle[\boldsymbol{l}\cdot(\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\alpha'})]^2\rangle}J_{0}(l\theta)
\end{align*}
\begin{align*}
\mathrm{mit}~
\langle [\boldsymbol{l}\cdot(\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\alpha'})]^2\rangle &= l^2[\sigma^2_{\alpha}(\theta) + cos(2\phi)C_{gl,2}(\theta)]\\
\sigma^2_{\alpha}(\theta) &= C_{gl}(0)-C_{gl}(\theta) = \frac{1}{2}\langle(\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\alpha'})^2\rangle \\
C_{gl}(\theta) &= \int \frac{dl}{2\pi} l^3 C_{\psi}(l)J_0(l\theta)\\
C_{gl,2}(\theta) &= \int \frac{dl}{2\pi} l^3 C_{\psi}(l)J_2(l\theta)
\end{align*}
\item ich habe mich mit folgender Näherung beschäftigt:
\begin{align*}
\xi_{g_2}(\theta) = \int \frac{l}{2\pi} C_{\tau_u}(l)e^{-\frac{1}{2}l^2\sigma^2_{\alpha}(\theta)}J_0(l\theta)
\end{align*}
\end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen}
\begin{frame}{Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen}
\begin{itemize}
\item Annahme: gelinster und ungelinster CMB sind gaußsche Zufallsfelder:
\begin{align*}
p(T(\theta),T(\theta ')) = \frac{\exp \left[-\frac{1}{2} \binom{T(\theta)}{T(\theta')}^{t} \mathrm{Cov}^{-1} \binom{T(\theta)}{T(\theta')}\right]}{\sqrt{(2\pi)^2 \mathrm{det(Cov)}}}
\end{align*}
\item Cov$^{-1}$ ist das Inverse der Kovarianzmatrix:
\begin{align*}
\mathrm{Cov} =\begin{pmatrix}
\sigma^{2}  &  \xi (\theta) \\
\xi (\theta)  & \sigma^{2} 
\end{pmatrix}  ~ \mathrm{mit}   ~ \sigma^2 = \langle T^2 \rangle
\end{align*}
\item Exponent wird über $T(\theta)$ und $T(\theta')$ aufgetragen. Es gilt:\\
je elliptischer desto korrelierter
\end{itemize}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ergebnisse}
\subsection{Vergleich der Temperaturkorrelationen}
\begin{frame}{Vergleich der Temperaturkorrelationen}
\begin{itemize}
\item Leistungsspektren $C_{\tau_u}, C_{\tau_g}$ und $C_{\psi}=\frac{4}{l^4}C_{\kappa}$ wurden aus dem CAMB Datensatz entnommen
\item Leistungsspektren sind diskret $\Rightarrow$ Summation statt Integration mit einem Summationsabstand von $\Delta l = 0{,}01$
 
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/Korr_Cu_Cl_Cl2.png}
\caption{Korrelationsfunktionen}
\end{figure}
\end{frame}



\begin{frame}
\begin{columns}[onlytextwidth]

    \begin{column}{0.4\textwidth}
    \begin{itemize}
    \item Maximum bei Winkelabstand $\theta = 0$
    \item bis $\theta \sim 0,8$ streng monoton fallend
    \item danach Schwanken um den Wert Null 
    \item in diesem Maßstab kein Unterschied zu erkennen\\
    $\Rightarrow$ Differenzfunktionen
    \end{itemize}
    \end{column}
    
	\begin{column}{0.6\textwidth}
    \begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Korr_Cu_Cl_Cl2.png}
	\caption{Korrelationsfunktionen}
	\end{figure}
	\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/Diff_Cu_Cl.png}
\caption{Differenzfunktion $\xi_u - \xi_g$ }
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{columns}[onlytextwidth]

    \begin{column}{0.4\textwidth}
    \begin{itemize}
    \item Unterschied zwischen gelinst und ungelinst sehr klein:\\
    	$(\xi_u - \xi_g)_{max} \lesssim 3\cdot 10^{-5}$ 
    \item bis $\theta \sim 0,8$ ungelinste Korreltion größer als gelinste
    \item danach Schwanken um den Wert Null
    \end{itemize}
    \end{column}
    
	\begin{column}{0.6\textwidth}
    \begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Diff_Cu_Cl.png}
	\caption{Differenzfunktion $\xi_u - \xi_g$}
	\end{figure}
	\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/DiffCu_Cl,Cu_Cl2.png}
\caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ (blaue Kurve) und $\xi_u - \xi_{g_2}$ (grüne Kurve)}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{columns}[onlytextwidth]

    \begin{column}{0.4\textwidth}
    \begin{itemize}
    \item Näherung ähnelt qualitativ der \\nicht genäherten Korrelationsfunktion
   	\item Maximum der genäherten Korrelationsfunktion ist zu kleineren $\theta$s verschoben
   	\item $(\xi_u -\xi_{g_2})_{max} $ fast doppelt so groß wie $(\xi_u - \xi_g)_{max}$
    \end{itemize}
    \end{column}
    
	\begin{column}{0.6\textwidth}
    \begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/DiffCu_Cl,Cu_Cl2.png}
	\caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ (blaue Kurve) und $\xi_u - \xi_{g_2}$ (grüne Kurve) }
	\end{figure}
	\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/Diff_Cl_Cl2.png}
\caption{Differenzfunktion $\xi_g - \xi_{g_2} $}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{columns}[onlytextwidth]

    \begin{column}{0.4\textwidth}
    \begin{itemize}
    \item Näherung unterschätzt bis $\theta \sim 0,2$ gelinste Korrelation 
   	\item Näherung überschätzt bis $\theta \sim 0,8$ gelinste Korrelation
   	\item danach Schwanken um die Null
    \end{itemize}
    \end{column}
    
	\begin{column}{0.6\textwidth}
    \begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Diff_Cl_Cl2.png}
	\caption{Differenzfunktion $\xi_g - \xi_{g_2} $}
	\end{figure}
	\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\subsection{Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen}

\begin{frame}{Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen}

\begin{figure}
\centering
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{3}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_3.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{10}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_10.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{30}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_30.png}}\\
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{100}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_100.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{300}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_300.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{1000}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_1000.png}}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item Elliptizität und damit Korrelation nimmt mit abnehmender Winkeldifferenz zu
\item kann durch Korrelationskoeffizienten $r=\left| \frac{\xi(\theta)}{\xi(0)}\right|$ quantifiziert werden
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{rrrr}
\multicolumn{1}{c}{${\bf l}$} & \multicolumn{1}{c}{${\bf r_{u}(l)}$} & \multicolumn{1}{c}{${\bf r_{g}(l)}$} & \multicolumn{1}{c}{${\bf r_{g_{2}}(l)}$} \\
\hline
\\
$3  $  & $0,073855482568$  & $0,073850631923$  & $0,073856277730$  \\
$10$   & $0,299666004838$  & $0,299646380494$  & $0,299671805244$  \\
$30$   & $0,809941838776$  & $0,809927906936$  & $0,809896875335$  \\
$100$  & $0,980651888883$  & $0,980650365330$  & $0,980616964227$  \\                                                    
$300$  & $0,997826472344$  & $0,997826300167$  & $0,997820992293$ \\
$1000$ & $0,999804137724$  & $0,999804122198$  & $0,999803624035$  \\
$3000$ & $0,999978235132$  & $0,999978233407$  & $0,999978177850$   \\       
\end{tabular} 
\label{naja}
\caption{Korrelationskoeffizienten in Abhängigkeit von Multipol $l=\frac{\pi}{\theta}$}
\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}  
\begin{figure}
\centering
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{3},V=10^6$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_3.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{10},V=10^6$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_10.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{30},V=10^5$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_30.png}}\\
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{3},V=10^7$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_3.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{10},V=10^7$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_10.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{30},V=10^5$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_30.png}}
\caption{Betrag der Differenz der unglinsten, gelinsten (obere Reihe) und der ungelinsten, genähert gelinsten (untere Reihe) Wahrscheinlichkeitsverteilung}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}
\centering
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{100},V=10^5$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_100.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{300},V=10^4$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_300.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{1000},V=10^4$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_1000.png}}\\
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{100},V=10^4$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_100.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{300},V=10^3$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_300.png}}\quad
\subfigure[$\theta = \frac{\pi}{1000},V=10^2$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_1000.png}}
\caption{Betrag der Differenz der unglinsten, gelinsten (obere Reihe) und der ungelinsten, genähert gelinsten (untere Reihe) Wahrscheinlichkeitsverteilung}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item ungelinster Korrelationskoeffizient stets größer als gelinster\\ 
$\Rightarrow$ ungelinster CMB korreliert stärker als gelinster
\item für $l<30$ ist $r_{g_2}$ größer als $r_u$ und $r_g$\\
$\Rightarrow$ Näherung überschätzt Korrelation des gelinsten CMB 
\item für $l\geq 30$ $r_{g_2}$ kleiner als $r_u$ und $r_g$ \\$\Rightarrow$ Näherung unterschätzt Korrelation des gelinsten CMB
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{rrrr}
${\bf l}$  & $({\bf r_{u}}-{\bf r_{g}})({\bf l})$ & $({\bf r_{u}}-{\bf r_{g_{2}}})({\bf l})$ & $({\bf r_{g}}-{\bf r_{g_{2}}})({\bf l})$\\
\hline
\\
$3  $  & $4,8506\cdot 10^{-6}$ & $-7,9516\cdot 10^{-7} $ &$ -5,6458\cdot 10^{-6} $\\
$10$   & $1,9624\cdot 10^{-5}$ & $-5,8004\cdot 10^{-6}$ &$ -2,5425\cdot 10^{-5}$\\
$30$   & $1,3932\cdot 10^{-5} $ & $4,4963\cdot 10^{-5} $ & $3,1032\cdot 10^{-5}$\\
$100$  & $1,5236\cdot 10^{-6} $ & $3,4925\cdot 10^{-5} $ & $3,3401\cdot 10^{-5} $\\                                                    
$300$  & $1,7218\cdot 10^{-7} $ & $ 5,4801\cdot 10^{-6}$ & $5,3079\cdot 10^{-6} $\\
$1000$ & $1,5526\cdot 10^{-8} $ & $ 5,1369\cdot 10^{-7} $  & $4,9816\cdot 10^{-7}$\\
$3000$ & $1,7250\cdot 10^{-9} $ & $ 5,7282\cdot 10^{-8}$  & $ 5,5557\cdot 10^{-8}$\\       
\end{tabular}
\caption{Differenz der Korrelationskoeffizienten in Abhängigkeit von Multipol $l=\frac{\pi}{\theta}$ } 
\end{table}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fazit}

\begin{frame}{Fazit}
\begin{itemize}
\item Temperaturkorrelation des CMB wird durch den schwachen Gravitationslinseneffekt verringert
\item Effekt ist klein; $\xi_u-\xi_g$ ist $\mathcal{O} (10^{-5})$
\item Näherung in nullter Ordnung in $C_{gl_2}(\theta)$ ähnelt für kleine Winkelabstände $\theta$ $qualitativ$ der gelinsten Korrelationsfunktion
\item Näherung unterschätzt die gelinste Korrelation für kleine $\theta$ und überschätzt für $\theta > 0,2$  
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Literatur}
\begin{frame}
\begin{thebibliography}{00}   % {00}: max 2-stellige Referenznummer
\small
\bibitem{paper_lang} Lewis, A., \& Challinor, A. (2006). \textit{Weak Gravitational Lensing of the CMB.} Physics Reports, 429(1), 1-65. \\Available:~http://arxiv.org/abs/astro-ph/0601594 [13.09.2016].

\bibitem{paper_kurz} Hanson, D., Challinor, A., \& Lewis, A. (2010). \textit{Weak Lensing of the CMB.} General Relativity and Gravitation, 42(9), 2197-2218.\\Available:~http://arxiv.org/abs/0911.0612v1 [13.09.2016].

\bibitem{statistik} Risken, H. (1984). \textit{The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications.} (Kapitel 2.3.3). Springer Berlin Heidelberg.

\bibitem{CAMB} Lewis, A. \& Challinor, A. (2016) \textit{Code for Anisotropies in the Microwave Background (CAMB)}\\Available:~http://lambda.gsfc.nasa.gov/toolbox/tb\_camb\_form.cfm [13.09.2016].

\bibitem{Temp} Fixsen, D. J. (2009). \textit{The Temperature of the Cosmic Microwave Background.} The Astrophysical Journal, 707(2), 916.
\\Available:~https://arxiv.org/abs/0911.1955 [13.09.2016].
\end{thebibliography}

\end{frame}


\end{document}